上海建平中学2018-2019学年高中二年级上期末考试数学考试试题
1、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
B. 
C. 
D. 
对应的普通方程为（）
B. 
C.
D. 
，对于任意实数k，下列直线中被椭圆C截得的弦长与直线l：y=kx+2被椭圆C截得的弦长肯定相等的是（）
B. 
C. 
D. 
的值为（）
，且
，则实数m=______．
，则直线l的斜率为______．
的渐近线方程为______．，则该椭圆的长轴长为______．
，则向量
可用表示为______．
，则该方程组的解为______．，则过点M的圆的切线方程为______．
，则目的函数z=2x+y的最大值是______．
有两个相同的焦点，且经过点的双曲线的规范方程是______．
到直线l：y=x+1的距离等于
到直线l：y=x+1的距离，则实数a=______．的夹角为，且
．（1）求
的值；（2）求
与
的夹角．（1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P的坐标；
（2）求|PA|+|PB|的最小值．
（1）若弦长
，求直线AB的斜率；（2）求△ABC面积的最大值，及此时弦长|AB|．
的两个焦点是F1（-c，0）和F2（-c，0）（c＞0）．（1）若椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点，求实数a的取值范围；
（2）若椭圆C上的点到焦点的最短距离为
，求椭圆C的方程；（3）对（2）中的椭图C，直线
与C交于不一样的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，1），求实数k的值．（1）若a=4，b=2，求出该曲线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及x、y的取值范围；
（2）若a=3，b=2，求经过点（-1，0）且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；
（3）若a=3，请在直角坐标平面内找出纵坐标不一样的两个点，此两点满足条件：无论b怎么样变化，这两点都不在曲线Γ上．
【分析】
∴直线l的斜率为2，设倾斜角为α，
∴tanα=2，∴倾斜角α为arctan2，
故选：A．
化直线的方程为斜截式，可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得．
本题考查直线的一般式方程，涉及直线的斜率和倾斜角，属基础题．
【分析】
，∴普通方程为x=-3y+1，即x+3y-1=0（-2≤x≤4）．
故选：C．
借助参数方程、普通方程的互化公式直接求解．
本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等入门知识，考查运算求解能力，是普通题．
【分析】
这直线与直线l：y=kx+2关于y轴对称，故这两直线被椭圆C所截得的弦长相等．
故选：C．
直线kx+y-2=0的斜率为-k，在y轴上的截距为2，这直线与直线l：y=kx+2关于y轴对称，故这两直线被椭圆C所截得的弦长相等．
本题考查了直线与椭圆的地方关系，直线的对称性，是中档题．
【分析】
∵抛物线y2=8x的焦点F的坐标为（2，0），
∴S1=
×|y1|×2=|y1|，S2=
×|y2|×2=|y2|，S3=
×|y3|×2=|y3|，∴S12+S22+S32=y12+y22+y32=8（x1+x2+x3）；
∵点F是△ABC的重心，
∴
（x1+x2+x3）=
=2，∴（x1+x2+x3）=6；
∴S12+S22+S32=6×8=48．
故选：B．
确定抛物线y2=8x的焦点F的坐标，求出S12+S22+S32，借助点F是△ABC的重心，计算求得结论．
本题考查抛物线的概念与性质的应用问题，也考查了三角形重心的性质，是中档题．
【分析】
，且
，∴
=2m-2=0，解得实数m=1．
故答案为：1．
借助向量垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等入门知识，考查运算求解能力，是基础题．
【分析】
=（3，-4），则直线的斜率为-
，故答案为：-
．直接依据直线的方向向量即可求出直线的斜率．
本题是一个基础题，正确理解直线的斜率与方向向量的关系是解题的重点．
x【分析】
的a=3，b=1，可得渐近线方程为y=±
x，故答案为：y=±
x．由双曲线的规范方程的渐近线方程为y=±
x，求得a，b，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，是基础题．
【分析】
，∴椭圆的普通方程为
+=1，∴该椭圆的长轴长为：2×3=6．
故答案为：6．
椭圆的参数方程消去参数求出椭圆的普通方程为
+=1，由此能求出该椭圆的长轴长．本题考查椭圆的长轴长的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等入门知识，考查运算求解能力，是基础题．
=
+【分析】
解：由三角形法则：有
=（
+），又
，所以：
=+
，故答案为：
=+．由三角形法则：有
=（+），故得解本题考查了平面向量的基本定理，属简单题
【分析】
∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，
∴|PF|=2+1=3．
故答案为：3．
确定抛物线y2=4x的准线方程，借助P到焦点F的距离等于P到准线的距离，即可求得结论．
本题考查抛物线的性质，借助抛物线概念是解题的重点，是基础题．
【分析】
，解得：．故答案为：
．本题可依据增广矩阵的概念将关于x、y的线性方程组还原，然后解关于x、y的二元一次方程组即可得到结果．
本题主要考查增广矩阵的概念及相对应的线性方程组的求解．本题属基础题．
x-2y-6=0【分析】
，有2+4=6，即M在圆上，则KOM=
=-，则切线的斜率k=
，则切线的方程为y+2=
（x-），变形可得x-2y-6=0；故答案为：
x-2y-6=0．依据题意，剖析可得点M在圆上，求出OM的斜率，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程剖析可得答案．
本题考查圆的切线方程，注意剖析点M与圆的关系，是基础题．
【分析】
画出可行域，然后平移直线0=2x+y，当直线z=2x+y过点（5，-1）时，z最大值为9．
故答案为：9．
先依据约束条件画出可行域，再借助几何意义求最值，仅需求出直线z=2x+y过点（5，-1）时，z最大值即可．
本题主要考查了简单的线性规划，与借助几何意义求最值，是基础题．
=1【分析】
-=1∵椭圆
的焦点坐标为（±2，0）∴双曲线中的c2=4，①
∵双曲线过点
，∴
②∵c2=a2+b2③
解①②③得a2=1，b2=3，
∴双曲线的方程为x2-
=1．故答案为：x2-
=1．借助椭圆的三个参数的关系求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线的方程，将已知点的坐标代入双曲线方程得到双曲线的三个参数的一个关系，再借助双曲线本身具备的关系，求出a，b，c的值，即得到双曲线的方程．
求圆锥曲线的方程一般借助待定系数法，应该注意圆锥曲线中的三个参数关系有什么区别，双曲线中有c2=a2+b2而椭圆中有a2=c2+b2．
【分析】
的圆心为（2，0），半径为，圆心到直线y=x+1的距离为：
=
，∴曲线C2：（x-2）2+y2=2到直线l：y=x+1的距离为：
．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x+1的距离等于
，令y′=2x=1解得x=
，故切点为（，+a），切线方程为y-（
+a）=x-，即x-y-+a=0，由题意可知x-y-
+a=0与直线y=x+1的距离为：，即
=解得a=
或-．当a=-
时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：
．先依据概念求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后依据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离近期打造等式关系，解之即可．
本题主要考查了借助导数研究曲线上某点切线方程，与点到直线的距离的计算，同时考查了剖析求解的能力，是中档题．
【分析】
可得2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，
斜率存在时，设斜率为k，
k=
，则y12=4x1，y22=4x2，
相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），
当l的斜率存在时，借助点差法可得ky0=2，
由于直线与圆相切，所以
=-，所以x0=2，即M的轨迹是直线x=2．
将x=2代入y2=4x，得y2=8，
∴-2
＜y0＜2，∵M在圆上，
∴（x0-4）2+y02=r2，
∴r2=y02+4＜12+4=16，
∵直线l恰有2条，
若r=2相切，直线的斜率没有，与圆两个交点，
若0＜r＜2时，直线与圆没交点．
故0＜r≤2时，直线l有2条；
故答案为：（0，2]．
先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2
，求得r2=y02+4＜12+4=16，考虑直线的斜率没有的状况，即可得出结论．本题考查直线与抛物线、圆的地方关系，考查点差法，考查学生剖析解决问题的能力，是中档题．
的夹角为，且．得：
•=||||cosplayθ=1×=
，所以|
|2=2+2•=1+9+3=13，即
=，（2）
•（）=2+•=，设
与的夹角为θ．则cosplayθ=
==，又θ∈[0，π]
即θ=arccosplay
．【分析】
（1）由向量的数目积公式得：
•=||||cosplayθ=1×=，由向量模长公式得：|
|2=2+2•=1+9+3=13；（2）由两向量的夹角公式可得：cosplayθ=
==，又θ∈[0，π]即θ=arccosplay，故得解．本题考查了向量的数目积公式、向量模长公式、两向量的夹角公式及反三角，属中档题．
，kAB==1．∴线段AB的垂直平分线方程为：y-
=-（x+
），化为：x+y-4=0．
联立
，解得x=1，y=3．∴P（1，3）．
（2）设点A（-2，3）关于直线l的对称点为A′（a，b），
则
，解得a=
，b=-
．则|PA|+|PB|≥|A′B|=
=．【分析】
（1）线段AB的中点为
，kAB=
=1．可得线段AB的垂直平分线方程，再与直线l的方程联立即可得出．（2）设点A（-2，3）关于直线l的对称点为A′（a，b），可得
，解得a，b．可得|PA|+|PB|≥|A′B|．本题考查了直线方程、对称性、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，是基础题．
当直线AB斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，即kx-y+1=0．
圆心（-2，0）到直线的距离d=
，则|AB|=
，即k=0或k=；（2）当直线AB垂直于x轴时，直线方程为x=0，
与圆C：（x+2）2+y2=9联立，可得|AB|=
，；当直线AB斜率存在时，
=．令
=t（t≥0），则S=
．当且仅当
，即，即k=-1或k=7．此时弦长|AB|=
．【分析】
（1）当直线AB垂直于x轴时，不合题意；当直线AB斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，即kx-y+1=0．借助点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由弦长公式求解；
（2）当直线AB垂直于x轴时，直线方程为x=0，求出△ABC面积；当直线斜率存在时，写出三角形面积，换元后了由基本不等式求最值，从而可得△ABC面积的最大值，并求此时弦长|AB|．
本题考查直线与圆地方关系的应用，考分数查询类讨论的数学思想办法，考查计算能力，是中档题．
∴方程组
有实数解，从而（1-）x2=c2-1，故c2≥1，所以a2≥2，即a的取值范围是（
，+∞）（2）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F2（c，0）的距离为
d2=（x-c）2+y2=x2-2cx+c2+1-
=
x2-2cx+c2+1=（x-）2．（-a≤x≤a）．∵
＞a∴当x=a时，dmin=a-c，（可以直接用结论）
于是，
，解得a=2，c=．所求椭圆方程为
+y2=1．（3）由
得（4k2+1）x2+x+-4=0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），
∴x1+x2=-
，∴线段MN的中点为（-
，），又∵线段MN的垂直平分线恒过点A（0，1），
∴
=-，整理可得4k2+5k+1=0，
解得k=-1，或k=-
，故实数k的值为-1或-
．【分析】
（1）由已知，a＞1，方程组有实数解，从而，由此能得到a的取值范围．
（2）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F2（c，0）的距离为d，则d2=
（x-）2．（-a≤x≤a）当x=a时，dmin=a-c，于是
，由此能导出所求椭圆方程．（3）由
得（4k2+1）x2+x+-4=0，依据根与系数的关系，和中点坐标，与直线的斜率即可求出k的值．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用是，是中档题．
则该曲线的对称轴方程为y=0，定点坐标为（0，0），焦点坐标为（
，0），x∈[0，+∞），y∈R，（2）a=3，b=2时，则曲线Γ：2x-2y2+2×2-4=0，即y2=x，
显然直线的斜率存在，设经过点（-1，0）的直线方程为y=k（x+1），
联立方程组可得
，消x可得ky2-y+k=0，当k=0时，y=0，此时满足经过点（-1，0）的直线与曲线Γ只有一个公共点，
当k≠0时，△=1-4k2=0，解得k=±
，此时直线方程为y=±
（x+1），故满足条件的直线方程为y=0，x-2y+1=0，x+2y+1=0，
（3）当a=3时，曲线Γ：2x-by2+2b-4=0，即为by2=2x+2b-4，
当b=0时，x=2，
当b≠0时，y2=
x+2-，∴≠0，∴无论b怎么样变化，曲线都不可能为y2=2，
∴两点可以是（p，2）和（q，2），p≠2，q≠2
【分析】
（1）代值可得曲线为y2=2x，依据抛物线的性质即可求出；
（2）设直线y=k（x+1），代入抛物线的方程，运用辨别式为0，解方程可得所求直线方程；
（2）讨论b是不是为0，可取（p，2）和（q，2），即可得证．
本题考查抛物线的方程和直线方程联立，运用辨别式为0，考分数查询类讨论思想办法和数形结合思想，注意运用几何意义，是综合题．
